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∫上限E 下限1 xE^%2xDx

∫[1→e] xe^(-2x) dx =(-1/2)∫[1→e] x de^(-2x) 分部积分 =-(1/2)xe^(-2x) + (1/2)∫[1→e] e^(-2x) dx =-(1/2)xe^(-2x) - (1/4)e^(-2x) |[1→e] =-(1/2)e*e^(-2e) - (1/4)e^(-2e) + (1/2)e⁻² + (1/4)e⁻² =(-1/4)e^(-2e)(2e+1...

使用分部积分法,得到 ∫ x *e^(1/2x) dx =∫ 2x *e^(1/2x) d(1/2x) =∫ 2x d[e^(1/2x)] =2x *e^(1/2x) -∫ 2e^(1/2x) dx =2x *e^(1/2x) -∫ 4e^(1/2x) d(1/2x) =2x *e^(1/2x) - 4e^(1/2x) +C,C为常数

求积分? 换元公式法

原式=∫(0,1)1/2xe^2xd2x =∫(0,1)1/2xde^2x =1/2xe^2x(0,1)-1/2∫(0,1)e^2xdx =1/2xe^2x(0,1)-1/4∫(0,1)e^2xd(2x) =(1/2xe^2x-1/4e^2x)(0,1) =(1/2*e²-1/4*e²)-(0-1/4) =(e²+1)/4

使用分部积分法即可,得到 ∫xe^2xdx =∫0.5xe^2xd2x =0.5∫x d(e^2x) =0.5x *e^2x -0.5∫e^2xdx =0.5x *e^2x -0.25e^2x +C,C为常数

1/2∫e^2xdx =1/4∫e^2xd2x 是因为dx变为d2x了 dx=(1/2)d2x 1/2∫e^2xdx =1/2∫e^2x(1/2)d2x =1/4∫e^2xd2x

∫(0,1)e^2xdx =(1/2)∫e^(2x)d(2x) [0,1] =(1/2)e^(2x)+C [0,1] =(1/2)(e²-1) =e²/2-(1/2)

由于∫ln20xe?2xdx=?12∫ln20xde?2x=[?12xe?2x]ln20+12∫ln20e?2xdx=?18ln2?14∫ln20e?2xd(?2x)=?18ln2?[14e?2x]ln20=18(32?ln2).

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