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高等数学 (∞∑n=0)[(2n+1)/n!]*x^2n,的收敛域及其...

答案见上图。

首先,收敛半径一般很好求,直接套用公式:幂级数的通项,后一项u(n+1)除以u(n),再求极限,此极限就是收敛半径。然后,判断端点处幂级数是否收敛,也就是根据刚才算出来的收敛半径,你会得到两个端点,直接带进去,从而得到收敛域。

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解:∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1,∴收敛半径R=1/ρ=1。 又,lim(n→∞)丨un+1/un丨=x²/R

记:un(x)=(?1)n?1x2n+1n(2n?1),则:limn→∞|un+1(x)un(x)|=limn→∞|(?1)nx2n+3(n+1)(2n+1)(?1)n?1x2n+1n(2n?1)|=|x|2,∴由比值判别法可得:①当|x|2<1,即|x|<1时,所给幂级数收敛;②当|x|>1时,所给幂级数发散;③当x=±1时,所给幂级数分别...

∑(∞,n→0)(2n 1)x^n R=lim|2n-1/2n 1|=1 x=1时∑(∞,n→0)(2n 1)发散, x=-1时∑(∞,n→0)(-1)^n(2n 1)也发散, 所以收敛域为(-1,1) 令s(x)=∑(∞,n→0)(2n 1)x^n=∑(∞,n→1)2nx^n ∑(∞,n→0)x^n 再令∑(∞,n→1)2nx^n=s1(x) s1(x)=2x∑(...

∑x^2n/2^n=∑(x²/2)^n是公比为x²/2的等比级数,当x²/2<1时收敛,当x²/2≥1时发散。 所以收敛域是x²/2<1,即(-√2,√2)。

如图

求幂级数收敛半径的常用方法有两种: 公式法: 当图中的极限比较容易求出时,可以选择使用比值法。 比值法: 根值法 由于题中的幂级数缺少了偶数项,因此不能直接用公式法计算,可以考虑使用比值法来计算其收敛半径:

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