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高等数学 (∞∑n=0)[(2n+1)/n!]*x^2n,的收敛域及其...

答案见上图。

比值判别法求收敛域,逐项求导再积分求和函数,参考下图:

∑x^2n/2^n=∑(x²/2)^n是公比为x²/2的等比级数,当x²/2<1时收敛,当x²/2≥1时发散。 所以收敛域是x²/2<1,即(-√2,√2)。

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|u(n+1) / un| → x²/2 <1, 则 -√2 <x <√2, 当 x=±√2 时,un=(2n-1)/2,显然级数发散, 所以收敛半径为 R=√2, 收敛域为(-√2,√2) 。

求幂级数收敛半径的常用方法有两种: 公式法: 当图中的极限比较容易求出时,可以选择使用比值法。 比值法: 根值法 由于题中的幂级数缺少了偶数项,因此不能直接用公式法计算,可以考虑使用比值法来计算其收敛半径:

事先申明: 解析中下所有∑的下标均为n=1,上标均为∞,符号敲打不便,敬请谅解! 解: 设S(x)= ∑[(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n =∑[(2n-1)/2]*(x²/2)^(n-1) =∑n*(x²/2)^(n-1)-(1/2)∑(x²/2)^(n-1) 令 x²/2=t 记 S1(t)=∑nt^(n-1)=1/(1-...

接着把x=±9带入原级数用根值判别法得出发散。故原级数的收敛域为(-9,9)

第一个求和函数的运算过程出现了错误,不过思路是正确的,但要先逐项求导、再对和函数进行积分并确定积分常数,更改的过程如下: 结果应该是f(x)=[ln(1+x)-ln(1-x)]/2,以上定积分过程出现了错误,没有改变后一项的符号

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