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高数题求详解 limx→0(∫x 0sint2Dt)2/∫x 0t2sint3Dt

这是0/0型,用两次洛必达法则,得到极限是2/3,求导的时候注意到(\int_0^x f(t)dt)' = f(x)

答: 两种方法. 方法一: 先算出分子,原式 =lim(x->0)(1-cosx)/x^2 若代入x=0,则有0/0,可用洛必达法则. =lim(x->0)sinx/2x =lim(x->0)(sinx/x)*1/2 =1/2 方法2: 若直接代入x=0,则积分区域是0到0,则得到0/0形式,也用洛必达法则. 此方法可省去算积分的步骤,若分子的积分积不出来的话,用此方法可求得解. 原式=lim(x->0)sinx/2x,同上=1/2

答:lim ( x→0+) [ ∫(0→x^2) t^(3/2)dt] / [ ∫(0→x)t(t-sint)dt ] (0---0型可导用洛必达法则)=lim (x→0+) [ (x^2)^(3/2)*(x^2)' ] / [ x(x-sinx) ]=lim(x→0+) (2x^4) / [x(x-sinx)]=lim(x→0+) 2(x^3) /(x-sinx) 再次应用洛必达法则=lim(x→0+) 6(x^2) /(1-cosx) 再次应用=lim(x→0+) 12x/(sinx)=12

解 lim x→0+ ∫ 2x0 |x?t|sintdt x3 =lim x→0+ ∫ x0 (x?t)sintdt+∫ 2xx (t?x)sintdt x3 =lim x→0+ ∫ x0 sintdt+2xsin2x?∫ 2xx sintdt 3x2 =lim x→0+ sinx 6x +4 3 ?lim x→0+ 2sin2x?sinx 6x =1 6 +4 3 ?4 6 +1 6 =1.

lim(x→0) [∫(0→x) sint dt]/x= lim(x→0) [∫(0→x) sint dt'/(x)'= lim(x→0) sinx/(2x)= 1/2 lim(x→0) (sinx)/x= 1/2

解法如下:∫(t-sint)^2sintdt =∫(t^2sint+sint^2sint-2tsint^2)dt=∫t^2sintdt+∫(1-cost^2)sintdt-2∫tsint^2dt=-∫t^2dcost-∫(1-cost^2)dcost-∫t*(1-cos2t)dt=-t^2cost+∫2costdt-cost+cost^3/3-t^2/2+∫tdsin2t=-t^2cost+2sint-cost+cost^3/3-t^2/2+tsin2t-∫sin2tdt=-t^2cost+2sint-cost+cost^3/3-t^2/2+tsin2t-1/2*sin2t^2

直接用洛比达法则,分子分母分别对x求导,I=lim(x→0) sinx/2x=1/2

x趋于0时,∫(2x→0)sintdt 和 x都趋于0,所以使用洛必达法则,分子分母同时求导 得到原极限=lim(x趋于0) 2 *sin(2x) /2x 而显然此时sin(2x) /2x趋于1,于是得到极限值为 2

首先,[∫(0到x^2)sint^(1/2)dt]'属于复合函数求导问题,定积分是上限x^2的函数,x^2又是x的函数,利用复合函数求导法则和变上限定积分定理,可以得到[∫(0到x^2)sint^(1/2

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