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考研数学真题∫1/1%x^2ln(1 x/1%x)Dx

答:(1/4)ln[ (1-x)/(1-x) ] + C 运用凑微分即可.注意1/(1-x) dx= 1/[ (1-x)(1+x) ] dx= 1/2 * [ (1+x)+(1-x) ]/[ (1-x)(1+x) ] dx= 1/2 * [ 1/(1-x) + 1/(1+x) ] dx= 1/2 * d[ ln(1+x) - ln(1-x) ]= 1/2 * dln[ (1+x)/(1-x) ] 所以∫ 1/(1-x) * ln[ (1+x)/(1-x) ]= (1/2)∫ ln[ (1+x)/(1-x) ] dln[ (1+x)/(1-x) ]= (1/4)ln[ (1+x)/(1-x) ] + C

∫x^2ln(1+x)dx=(1/3)∫ln(1+x)dx^3=(1/3)x^3 ln(1+x)-(1/3)∫x^3dx/(1+x)=(1/3)x^3 ln(1+x)-(1/3)∫(x^3+x^2-x^2-x+x+1-1)dx/(x+1)=(1/3)x^3 ln(1+x)-(1/9)(x^3)+(1/6)x^2-(1/3)x+(1/3)ln(x+1)+C

你先把x^2拿到dx里 变成ln(x-1)/3dx^3 然后用分部积分法 后面的项变成了x^3/3d(ln(x-1))x^3/(3*(x-1))dx 到这里你用多项式积分法就可以了 不继续说明了 打不出格式

∫x^2ln(1+x)dx =1/3积分:ln(1+x)d(x^3) =1/3[x^3ln(1+x)-积分:x^3d(ln(1+x))] =1/3[x^3ln(1+x)-积分:x^3/(1+x)dx] =1/3[x^3ln(1+x)-积分:[(x+1)^3-3x(x+1)-1]/(1+x)dx]] =1/3[x^3ln(1+x)-积分:[(1+x)^2-3x-1/(1+x)]dx =1/3{x^3ln(1+x)-(x+1)^3/3+3x^2/2+ln|1+x|}+C (C为常数)

∫xln(1+x)dx=∫ln(1+x)d(x/3)=(1/3)xln(1+x)-(1/3)∫xd[ln(1+x)]=(1/3)xln(1+x)-(2/3)∫[x^4/(1+x)]dx=(1/3)xln(1+x)-(2/3)∫[x+1/(1+x)-1]dx=(1/3)xln(1+x)-(2/3)∫xdx+(2/3)∫[1/(1+x)]dx-(2/3)∫dx=(1/3)xln(1+x)-(2/3)(x/3)-(2/3)arctanx-(2/3)x+C=(1/3)xln(1+x)-(2/9)x-(2/3)arctanx-(2/3)x+C

∫{[√(1+x)-1]/[√(1+x)+1]}dx=∫{[√(1+x)-1]^2/[(1+x)-1]}dx=∫{[1+x-2√(1+x)+1]/x}dx=2∫(1/x)dx+∫xdx-2∫[√(1+x)/x]dx=2ln|x|+(1/2)x^2-2∫[√(1+x)/x]dx.令√(1+x)=u,则:x=u^2-1,∴dx=2udu.∴∫

∫x^2ln(1+x)dx=(1/3)∫ln(1+x)dx^3=(1/3)x^3 ln(1+x)-(1/3)∫x^3dx/(1+x)=(1/3)x^3 ln(1+x)-(1/3)∫(x^3+x^2-x^2-x+x+1-1)dx/(x+1)=(1/3)x^3 ln(1+x)-(1/9)(x^3)+(1/6)x^2-(1/3)x+(1/3)ln(x+1)+C

令√x=t,x=t^2,dx=2tdt∫√x/(1+√x)dx=∫t/(1+t)*2tdt=2∫(t^2-1+1)/(1+t)dt=2∫[t-1+1/(1+t)]dt=t^2-2t+2ln(1+t)+C再反代就可以了

一样的分子和分母同时除以x^2化为{1/x-ln(1+1/x)}/(1/x^2)={-1/x^2+1/x-1/(x+1)}/[-2/(x^3)]=(1/2)[1/(1+1/x)]=1/2

等价无穷小不能随便用的只适用于乘积,加减和指数等情况是不能用的(即使有时候结果恰好是对的)举个例子 ( x - sinx ) / x^3 在 x→0的极限,如果用 sinx~x代入就等于0了,但显然不对你的题目正确解法如下:lim(x→+∞) [ x - x ln(1+ 1/x ) ]t = 1/x ,t→0= lim(t→0) [1/t - 1/t ln(1+t) ]= lim(t→0) [ t - ln(1+t) ] / t洛必达法则= lim(t→0) [ 1 - 1/(1+t) ] / (2t)= lim(t→0) 1/ [ 2(1+t) ] = 1/2

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