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求幂级数的和函数 ∑n×x∧(n%1);n∈(1,∞)

和函数是关于x的函数,与n无关.

令f(x)=∑x^n/n(n+1) 则f'(x)=∑x^(n-1)/(n+1)=1/x∑x^(n+1)/(n+1) 再记g(x)=∑x^(n+1)/(n+1) 则g'(x)=∑x^n=x/(1-x)=-1+1/(1-x), 收敛域为|x|<1 积分得:g(x)=C-x-ln(1-x) 因为g(0)=0, 故有C=0, 得g(x)=-x-ln(1-x) 故有f'(x)=1/xg(x)=-1/x-1/xln(1-x) 积

f(x)=∑x^n/[n(n+1)]求导:f'(x)=∑ x^(n-1)/(n+1)F=x^2f'(x)= ∑ x^(n+1)/(n+1)再求导:F'=∑ x^n=x/(1-x)=1/(1-x)-1积分:F=-ln(1-x)-xf'(x)=F/x^2=-ln(1-x)/x^2-1/x再积分:f(x)=ln(1-x)/x+∫x/(1-x)dx-lnx=ln(1-x)/x-ln(1-x)-x-lnx=[ln(1-x)]/x-ln[x(1-x)]-x

∑(n=1,∝)(x^n)/n=s(x)s'(x)=(∑(n=1,∝)(x^n)/n)'=∑(n=1,∝)[(x^n)/n]'=∑(n=1,∝)x^(n-1)=1/(1-x) (|x|s(x)=∫(0,x)1/(1-x)dx=-ln(1-x) (-1 作业帮用户 2016-11-17 举报

先将级数 ∑(∞ n=1)(x^n)/n 逐项求导得 d(∑(∞ n=1)(x^n)/n)dx = ∑(∞ n=0)x^n ,当 |x|

利用等比级数求和公式得到的,等比级数在公比绝对值小于1时,和等于首项除以(1-公比),这里公比等于x,首项是1,你的S'(x)=∑(n=1,∞)x*n是错的,应该写为S'(x)=∑(n=1,∞)x*(n-1)或者S'(x)=∑(n=0,∞)x*n,

该级数的首项是 1,所以 x=0 时,上式等于1.下面对 x≠0 来求和:记 f(x) = ∑(n=1~∞)(x^n)/n求导,得 f'(x) = ∑(n=1~∞)x^(n-1) = 1/(1-x),-1<x<1,因此, f(x) = ∫[0,x]f'(t)dt = ∫[0,x][1/(1-t)]dt = -ln(1-x),-1<=x<1,于是 ∑(n=1~∞)[x^(n-1)]/n = f(x)/x = -(1/x)ln(1-x),-1<=x<0,0<x<1.

级数∑(1,+∞) (-x)^(n+1)=x^2/(1+x) |x|两边求导得:-∑(1,+∞)(n+1)(-x)^(n)=x^2/(1+x)=1-1/(1+x)^2 |x|所以:∑(1,+∞)(n+1)(-x)^(n)=-1+1/(1+x)^2 |x|

∑n^2*x^(n-1)=(∑n*x^n)'∑n*x^n=x∑n*x^(n-1)=x(∑x^n)'=x(x/(1-x))'=x/(1-x)^2所以,∑n^2*x^(n-1)=(x/(1-x)^2)'=(1+x)/(1-x)^3

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