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求曲线积分∫C xy^2Dy%x^2yDx ,其中C是x^2+y^2=4的...

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方法一:格林公式对圆周补线段AB:y=0,x:-2--->2,这样c+AB就是封闭曲线了∮(c+AB) xydy-xydx=∫∫(y+x)dxdy 积分区域为:x+y=2,上半圆用极坐标=∫[0--->π]dθ

∮xy^2dy-x^2ydx=∫∫x^2+y^2dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr=2π(1/4)r^4(0,a)=(1/2)πa^4注意:∫∫x^2+y^2dxdy是二重积分,在D上x^2+y^2≤a^2

因为P=-x^2 y,Q=xy^2.所以Py=-x^2,Qx=y^2.利用格林公式:∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy,其中c是的取正向的边界曲线.故原式=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy=∫∫D(y^2-(-x^2))dxdy=∫∫D(y^2+x^2)dxdy=∫∫D a

满足格林公式如果PQ相等是与积分路径无关只要L闭封,P.Q在D中有一阶连续偏导数,且D的边界取正方向就可以用格林公式

偏Q偏x=偏P偏y 积分与路径无关原积分=0 这还用画什么图

【L】∮(xydy-xydx)/(x+y) 其中L是圆周x+y=a的顺时针方向P=-xy/(x+y);P/y=[-x(x+y)+2xy]/(x+y)=x(y-x)/(x+y);Q=xy/(x

对AB,y=x^2,dy=2xdx,∫(AB)ydx-x^2dy=∫(-1,1)(x^2-x^2*2x)dx=2/3对BC,y=2-x,dy=-dx,∫(BC)ydx-x^2dy=∫(1,0)(2-x+x^2)dx=-11/6所以积分等于2/3-11/6=-7/6

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