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微分方程:yDx+(x%lny)Dy=0通解为

答:ylnydx+(x-lny)dy=0 所以:ylny+(x-lny)y'=0,y>0 lny+(x-lny)y'/y=0 lny+(x-lny)(lny)'=0 设t=lny:t+(x-t)t'=0 xt'+t-tt'=0(xt)'=(1/2)(t)'2xt=t+C 所以:2xlny=(lny)+C

分离变量法:dy/(ylny)=-dxd(lny)/lny=-dxln|lny|=-x+C1得lny=Ce^(-x)

(x+y^2)dy-ydx=0 即y^2dy=ydx-xdy 即dy=(ydx-xdy)/y^2=dx/y+xd(1/y)=d(x/y) 积分得:y=x/y+2a,2a为积分常数 即y^2-2ay-x=0,即x=y^2-2ay=(y-a)^2-a^2,表示顶点为(-a^2,a)开口朝右的抛物线. 或者开方求得:y=a±√(a^2+x^2) 是为原方程的通解.

ln后是什么?微分方程ydx+(x-ln?)dy=0的通解为

解:先求ylnydx+xdy=0通解, 它的通解是x=c/lny (c是常数). 再求原方程通解, 根据x=c/lny,设原方程通解为x=c(y)/lny. ==>c'(y)=lny/y ==>c(y)=lny/2+c (c是常数). 故x=lny/2+c/lny

这个题目需要引入一个新的参数的 首先,把原式化简一下,等式两边先同时除以dx,再同时除以x,就可以得到:y/x+(1-y/x)(dy/dx)=0的等式,于是乎,可以设u=y/x,因此dy/dx=du*x/dx+u,再把这个东西带到上面的式子里:u+(1-u)(du*x/dx+u)=0

∵y可以作为分母除过去,所以需要考虑y是否为0的可能性dy-ydx=0得到dy=ydx①y恒等于0,此时必然是方程的解.②y不总为0,在y≠0时,dy/y=dx两边积分得到ln|y|=x+C1也就是y=±C2e^x(C2=e的C1次方,是个正数),这个解里面没有y=0的情形,符合我们的条件y≠0.下面再化简一些,±C2中C2是正数,则整体±C2看成非零数即可再加上①中y=0对应C2=0也是解,因此只要概括成y=Ce^x(C是常数)就包含了所有情况.于是通解y=Ce^x(C∈R,定义域为x∈R)

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