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一阶线性微分方程 y′%1/x*y =x*sinx 当x=π/2 时 y=...

两边同乘xxy'+y=sinx也就是(xy)'=sinx两边积分得到:xy=∫sinxdx=-cosx+cy=-cosx/x+c/x

设P(x)=2/x Q(x)=sinx/x原方程变为y'+P(x)y=Q(x) 书上有现成的公式,直接套就行了

x*dy/dx + y*dx/dx = x*sinx;d(xy)/dx = x*sinx;两边同时对x积分,可得xy = sinx-x*cosx+C;y = (sinx)/x - cosx + C/x, 其中C为任意常数.x=π时y=0,带入一般解, 可得 C = -π特解为y = (sinx)/x - cosx - π/x

xy'+y=sinx两边同时除以x得 y'+y/x=(sinx)/x,两边再乘以e^(lnx)得 e^(lnx)*y'+e^(lnx)*y/x=e^(lnx)*(sinx)/x 所以[e^(lnx)*y]'=e^(lnx)*(sinx)/x 两边积分得 e^(lnx)*y=-cosx+C (C为任意常数) y=(-cosx+C)/x 令x=π,y=0得C=-1 所以微分方程xy'+y=sinx满足条件x=π,y=0的特解为y=(-cosx-1)/x

xy'+y=sinx化为标准的一阶线性非齐次方程y'+y/x=sinx/x利用一阶线性非齐次方程的解的公式:y=e^(∫-1/xdx)(c+[∫e^(∫1/xdx)*sinx/x])=(c-cosx)/x又x=π 时y=0则(c+1)/π=0则c=-1则y=-(1+cosx)/x

显然,齐次方程y'+y/x=0的通解是y=C/x (C是积分常数)于是,根据常数变易法,设原方程的解为y=C(x)/x (C(x)是关于x的函数)∵y'=[C'(x)x-C(x)]/x代入原方程,得[C'(x)x-C(x)]/x+C(x)/x=sinx/x==>C'(x)=sinx==>C(x)=C-cosx (C是积分常数)∴原方程的通解是y=(C-cosx)/x (C是积分常数)∵y(π)=1∴(C+1)/π=1 ==>C=π-1故原方程满足初始条件y(π)=1的特解是y=(π-1-cosx)/x.

xy=-cosx+C,然后将n带进去求C的值就可以得到原函数了

解:∵dy/dx+y/x=sinx/x ==>xdy+ydx=sinxdx ==>d(xy)=-d(cosx) ==>∫d(xy)=-∫d(cosx) ==>xy=C-cosx (C是常数) ∴原方程的通解是y=(C-cosx)/x ∵当x=π/2时,y=0 ∴代入通解,得C=0 故所求特解是y=-cosx/x.

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